今天小编为大家精心整理了一篇有关初中数学知识点之三角函数公式详细解析的相关内容，以供大家阅读，更多信息请关注爱享小站-学习网！ 三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。 三角函数看似很多、很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在 定义式
| 锐角三角函数 | 任意角三角函数 | |
|---|---|---|
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图形 |
 直角三角形
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 任意角三角函数
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| 正弦（sin） |
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| 余弦（cos） |
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| 正切（tan或tg） |
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| 余切（cot或ctg） |
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| 正割（sec） |
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| 余割（csc） |
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；
；
；
商数关系：
；
．
平方关系：
；
；
．
诱导公式
公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
公式二：设为任意角，与的三角函数值之间的关系：
公式三：任意角与的三角函数值之间的关系：
公式四：与的三角函数值之间的关系：
公式五：与的三角函数值之间的关系：
公式六：及与的三角函数值之间的关系：
记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限．即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函数名称不变。
诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义：
k×π/2±a(k∈z)的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号；
(2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。
记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限：
记忆方法二：无论α是多大的角，都将α看成锐角．
以诱导公式二为例：
若将α看成锐角（终边在第一象限），则π十α是第三象限的角（终边在第三象限），正弦函数的函数值在第三象限是负值，余弦函数的函数值在第三象限是负值，正切函数的函数值在第三象限是正值．这样，就得到了诱导公式二．
以诱导公式四为例：
若将α看成锐角（终边在第一象限），则π-α是第二象限的角（终边在第二象限），正弦函数的三角函数值在第二象限是正值，余弦函数的三角函数值在第二象限是负值，正切函数的三角函数值在第二象限是负值．这样，就得到了诱导公式四．
诱导公式的应用：
运用诱导公式转化三角函数的一般步骤：
特别提醒：三角函数化简与求值时需要的知识储备：①熟记特殊角的三角函数值；②注意诱导公式的灵活运用；③三角函数化简的要求是项数要最少，次数要最低，函数名最少，分母能最简，易求值最好。
基本公式
二角和差公式
证明如图，负号的情况只需要用-β代替β即可．cot(α+β)推导只需把角α对边设为1，过程与tan(α+β)相同．
证明正切的和差角公式
证明正弦、余弦的和差角公式
三角和公式
和差化积
口诀：正加正，正在前，余加余，余并肩，正减正，余在前，余减余，负正弦．
积化和差
倍角公式
二倍角公式
三倍角公式
证明：
sin3a
=sin(a+2a)
=sin^2a·cosa+cos^2a·sina
=2sina(1-sin^2a)+(1-2sin^2a)sina
=3sina-4sin^3a
cos3a
=cos(2a+a)
=cos^2acosa-sin^2asina
=(2cos^2a-1)cosa-2(1-cos^2a)cosa
=4cos^3a-3cosa
sin3a
=3sina-4sin^3a
=4sina(3/4-sin^2a)
=4sina[(√3/2)-sina][(√3/2)+sina]
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[60°+a)/2]
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)
cos3a
=4cos^3a-3cosa
=4cosa(cos^2a-3/4)
=4cosa[cos^2a-(√3/2)^2]
=4cosa(cosa-cos30°)(cosa+cos30°)
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)
上述两式相比可得：
tan3a=tana·tan(60°-a)·tan(60°+a)
四倍角公式
sin4a=-4*[cosa*sina*(2*sina^2-1)]
cos4a=1+(-8*cosa^2+8*cosa^4)
tan4a=(4*tana-4*tana^3)/(1-6*tana^2+tana^4)
五倍角公式
n倍角公式
应用欧拉公式：.
.
上式用于求n倍角的三角函数时，可变形为： 
所以，
其中，Re表示取实数部分，Im表示取虚数部分．而 
所以，
n倍角的三角函数
半角公式
（正负由所在的象限决定）
万能公式
辅助角公式
．
证明：
由于 
，显然
，且
，
故有：
三角形定理
正弦定理
在任意△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，三角形外接圆的半径为R．则有：
正弦定理变形可得：
余弦定理
在如图所示的在△ABC中，有
或
今天的内容就介绍到这里了。
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